Калькулятор вероятности потери данных в кластере Ceph/Vitastor

Установлен тут:

https://yourcmc.ru/afr-calc/

А что такое Vitastor

Это мой быстрый цефозаменитель.

https://yourcmc.ru/git/vitalif/vitastor/

Теоретическая модель

• Вероятность потери данных равна вероятности того, что в течение года выйдет из строя любой 1 диск и при этом в течение времени, которое восстанавливается недостающая копия данных, выйдут из строя все оставшиеся диски любой из PG, бывших на указанном диске...
• ...Либо из строя выйдет целый хост и в течение времени его восстановления выйдут из строя оставшиеся диски любой из PG, бывших на одном из его дисков.
• Вероятность выхода из строя одной PG = (вероятность выхода из строя диска = P) ^ (N-1), где N - фактор репликации. Либо вероятность выхода из строя любых K из N-1 дисков в случае EC.
• Это не на 100% верно, т.к. за время восстановления первого диска выйти из строя может не N-1 дисков, а, например, только 1, и тогда к исходному времени восстановления добавляется в среднем ещё какое-то время (в среднем 1/2 исходного, но в любом случае <= исходного), в течение которого первый диск уже будет восстановлен, но второй ещё не будет, и данные снова будут потеряны, если из строя выйдет N-1 других дисков. И если за это время опять выйдет из строя какой-то диск, то время опять будет продлено, в среднем уже на 3/4 исходного, и так может быть до бесконечности. Однако пока считаем, что этими величинами можно пренебречь, т.к. они обычно меньше исходной вероятности минимум на порядок, т.к. исходная - условно P^N, а "повторная" начинается от P^(N+1). Подлянка может ожидать нас в случае EC с неразумным N и вероятностью отказа (N >= 1/P) - исходная C(n,k) * P^(k+1), а "повторная" - C(n,1) * C(n,k+1) * P^(k+2).
• Все PG, бывшие на указанном диске, для упрощения мы считаем не имеющими других общих OSD. Это, естественно, не совсем корректно, так как в Ceph они, наоборот, почти гарантированно пересекаются. Однако, теоретически, вероятность выхода из строя любой из непересекающихся PG всегда выше, чем если бы какие-то из них пересекались, то есть у нас будет оценка сверху.
• Степень пересечения мы попробуем учесть через парадокс дней рождений, см. ниже.
• В таком случае события выхода из строя разных PG независимы и вероятность выхода из строя любой из K PG, имевших в своём составе отказавший диск, равна единице минус вероятность того, что ни одна из K PG не выйдет из строя, то есть, (1 - (1 - P^(N-1)) ^ K).
• Итого (Умерло) = (1 - (не умерло ни из-за диска, ни из-за хоста)) = (1 - (1 - (умерло из-за диска))^(общее число дисков) * (1 - (умерло из-за хоста))^(число хостов)).
• (Умерло из-за диска) = (Умер диск) * (1 - (не умерла ни одна из его PG)) = (Умер диск) * (1 - (1 - умерла PG)^(число PG)).
• (Умер диск) = ((AFR диска) + (AFR сервера)/(число дисков)) * (Время восстановления в годах). AFR сервера эмпирически поделен на число дисков, чтобы "размазать" вероятность отказа сервера по его дискам.

Парадокс дней рождений

• PG почти гарантированно пересекаются, особенно в небольших кластерах. Степень их пересечения очень полезно учитывать.
• Из задачи о парадоксе дней рождения мы знаем, что если в году N дней, а в группе K человек, то среднее число дней, являющихся хоть чьим-то днём рождения равно U(N,K) = N*(1 - (1 - 1/N)^K). Это даёт нам возможность узнать, сколько в среднем уникальных элементов при K случайных выборах из N.
• На 1 диске в среднем размещается (число PG) групп чётности по (размер PG) дисков.
• 1 диск в среднем имеет примерно U((число хостов-1) * (число дисков), (число PG) * (размер PG - 1)) дисков, которые работают с ним в паре. Поделим это число на (размер PG - 1) и получим среднее число PG на диск с учётом пересечений.
• 1 хост в среднем имеет примерно U((число хостов-1) * (число дисков), (число дисков) * (число PG) * (размер PG - 1)) дисков, которые работают с ним в паре. Поделим это число на (размер PG - 1) и получим среднее число PG на сервер с учётом пересечений.
• При выходе из строя 1 диска и его мгновенной замене на другой все данные восстанавливаются на единственном новом заменном диске. В этом случае число дисков, участвующих в процессе восстановления - 1.
• При выходе из строя 1 диска без замены в Ceph по умолчанию его данные восстанавливаются на других дисках того же хоста. В этом случае число дисков, участвующих в процессе восстановления - U(число дисков-1, число PG).
• При выходе из строя 1 диска без замены в Vitastor или гипотетической иной системе его данные восстанавливаются на любых других дисках в кластере. В этом случае число дисков, участвующих в процессе восстановления - U((число хостов-1) * (число дисков), (число PG)).
• При выходе из строя целого хоста без возврата его дисков в строй в других хостах в восстановлении участвует U((число хостов-1) * (число дисков), (число дисков) * (число PG)) дисков.
• Зная число участвующих в восстановлении дисков, среднюю скорость восстановления в пересчёте на 1 диск, оцениваемую с учётом пропускной способности сети, а также объём дисков, мы можем рассчитать ожидаемое время восстановления данных одного диска или одного хоста.

Симуляция (переборная модель)

К сожалению, при теоретическом расчёте по вышеприведённой модели корректно учесть степень пересечения вероятностей выхода из строя разных PG всё равно не получается, из-за чего вероятность оказывается завышенной.

Чтобы попробовать оценить вероятность более реально, придумана вторая модель - переборная. Идея в том, чтобы сначала сгенерировать заданное количество случайных PG с учётом распределения данных по хостам, а потом перебрать все варианты комбинаций событий их выхода из строя, по принципу:

• PG 1 вышла из строя в течение года
• PG 1 не вышла из строя в течение года, но вышла из строя PG 2
• PG 1 и 2 не вышли из строя в течение года, но вышла из строя PG 3
• И так далее...

Как же подсчитать вероятности выхода из строя PG? Начнём с простого - N-кратной репликации:

• Берём очередную PG. Допустим, она включает диски 1, 2, ..., N.
• Поделим все варианты событий следующим образом:
  • Диск №1 умирает в течение года
    • Вероятность этого события равна AFR диска 1 = AFR1
    • Диск №2 умирает в диапазоне +- времени восстановления от диска №1 (либо до диска №1, либо после)
      • Вероятность этого события = AFR1 * AFR2 * 2 * время_восстановления / год
      • Диск №3 умирает в диапазоне +- времени восстановления от дисков №1 и №2
        • Вероятность этого события AFR2 * коэффициент(2) * время_восстановления/год
          • Коэффициент(N+1) - это среднее пересечение N+1-ого отрезка с предыдущими N, при условии, что центр каждого равномерно распределён в интервале от -1 до 1 и длина равна 2.
          • Путём несложных умозаключений можно понять, что это 2 * (0.5 + объём_N-мерной_пирамиды/объём_N-мерного_куба)
          • Объём N-мерной пирамиды = 1/N * Площадь_основания * Высота = 1/N * 2^(N-1)
          • Так что коэффициент(N+1) равен просто (1 + 1/N)
        • И так далее для всех последующих дисков PG
      • Диск №4 не умирает в этом диапазоне => PG умереть уже не может (одна копия данных точно жива)
    • Диск №2 не умирает в этом диапазоне => PG умереть не может
  • Диск №1 не умирает в течение года => PG умереть не может
• После каждого шага мы знаем, что учли всю вероятность выхода из строя диска №1
• А также часть (AFR1) вероятности выхода из строка диска №2
• А также часть (AFR1 * AFR2) вероятности выхода из строка диска №3
• И так далее...
• Поэтому для последующих шагов вероятность выхода из строя диска №1 приравнивается к 0, а дисков №2 - №N умножается на (1 - AFR1 * ... * AFRi-1)

Эту же схему легко расширить до EC N+K - кстати, N реплик, по сути, то же самое, что "EC" 1+(N+1). Нужно только в рамках каждой PG перебирать комбинации отказов дисков:

• Начать с PREV=1 и PGFAIL=0
• Диск №1 умирает в течение года: AFR1
  • Число умерших дисков: M=1
  • Вероятность отказа текущей комбинации: CUR=PREV*AFR1
  • Для каждого последующего диска:
    • Диск №i умирает в диапазоне времени восстановления предыдущих: X = Коэффициент(M+1)*Время*AFRi
      • Если M+1 > K, добавить CUR к вероятности отказа PG и остановить ветку перебора
      • Иначе повторить перебор для остальных дисков с M=M+1 и CUR=CUR*X
    • Диск №i не умирает в этом диапазоне
      • Уменьшить AFRi: AFRi = AFRi * (1-CUR)
      • Повторить перебор для остальных дисков с M=M и CUR=CUR*(1-X)
• Диск №1 не умирает в течение года: 1-AFR1
  • Умножить PREV = PREV*(1-AFR1)
  • Приравнять оставшуюся (неучтённую) вероятность отказа диска 1 к 0: AFR1 = 0
  • Повторить перебор, начиная с последующих дисков, кроме последних K
• Общую вероятность отказа умножить на (1-PGFAIL)
• Перебрать таким же образом все последующие PG

Про AFR сервера

В текущей версии калькулятора есть такой параметр, как AFR сервера. Означает он вероятность отказа сразу целого сервера со всеми дисками, т.е. такого отказа, после которого на этих дисках не оказывается данных и вернуть их в строй не представляется возможным.

На самом деле смысла в таком параметре довольно мало, так как такие ситуации крайне редки - сервер скорее всего будет отремонтирован и возвращён в строй вместе с дисками, либо диски будут перемещены в другие серверы.

Кроме того, в переборной модели он не работает вообще, а в теоретической работает нечестно :-).

Поэтому этот параметр, видимо, лучше удалить. Возможно, вместо него имело бы смысл рассмотреть другой параметр "среднее время отключения сервера в течение года" и рассчитывать отказы, исходя из него, так как пока любой из серверов выключен, часть данных доступна с ограниченным уровнем избыточности. Но расчёт это, конечно, значительно усложнит.